Сторони Прямокутника: Діагональ 6 См, Площа 9√3 См²

Привіт, друзі! Сьогодні ми розберемо цікаву задачу з геометрії, яка допоможе вам краще зрозуміти властивості прямокутників та їх взаємозв'язок між сторонами, діагоналлю та площею. Ми розглянемо випадок, коли відома площа прямокутника та його діагональ, і спробуємо знайти довжини сторін. Звучить трохи складно, але повірте, з нами ви все зрозумієте!

Постановка задачі

Уявімо собі прямокутник, діагональ якого дорівнює 6 см, а площа – 9√3 см². Наша мета – обчислити довжини сторін цього прямокутника. Щоб розв'язати цю задачу, нам знадобляться знання про властивості прямокутників, теорему Піфагора та формулу для обчислення площі прямокутника. Отож, давайте почнемо!

Дано:

• Прямокутник ABCD
• Діагональ AC = 6 см
• Площа S = 9√3 см²

Знайти:

• Сторони AB та BC

Малюнок

Перш ніж зануритися в розв'язання, давайте зробимо малюнок. Це допоможе нам візуалізувати задачу і краще зрозуміти, що відбувається. Намалюйте прямокутник ABCD. Проведіть діагональ AC. Позначте відомі значення: AC = 6 см, S = 9√3 см². Тепер у нас є наочне представлення задачі.

Розв'язання

Крок 1: Згадуємо основні формули

Перш за все, нам потрібно згадати дві важливі формули:

1. Площа прямокутника: S = a * b, де a та b – довжини сторін прямокутника.
2. Теорема Піфагора для прямокутного трикутника: c² = a² + b², де c – гіпотенуза (в нашому випадку – діагональ прямокутника), a та b – катети (сторони прямокутника).

Крок 2: Записуємо рівняння

Нехай AB = a, BC = b. Тоді ми маємо два рівняння:

1. a * b = 9√3 (площа прямокутника)
2. a² + b² = 6² = 36 (теорема Піфагора)

Крок 3: Виражаємо одну змінну через іншу

З першого рівняння виразимо b через a:

b = (9√3) / a

Крок 4: Підставляємо вираз у друге рівняння

Тепер підставимо цей вираз для b у друге рівняння:

a² + ((9√3) / a)² = 36

a² + (243 / a²) = 36

Крок 5: Розв'язуємо рівняння

Щоб позбутися дробу, помножимо обидві частини рівняння на a²:

a⁴ + 243 = 36a²

Перенесемо все в одну сторону:

a⁴ - 36a² + 243 = 0

Це біквадратне рівняння. Зробимо заміну: x = a². Тоді рівняння набуде вигляду:

x² - 36x + 243 = 0

Крок 6: Знаходимо корені квадратного рівняння

Розв'яжемо це квадратне рівняння. Можна використати формулу дискримінанта:

D = b² - 4ac = (-36)² - 4 * 1 * 243 = 1296 - 972 = 324

Корені:

x₁ = (36 + √324) / 2 = (36 + 18) / 2 = 27

x₂ = (36 - √324) / 2 = (36 - 18) / 2 = 9

Крок 7: Повертаємось до змінної a

Тепер повернемось до змінної a. Оскільки x = a², то:

a₁ = √27 = 3√3

a₂ = √9 = 3

Крок 8: Знаходимо відповідні значення b

Для кожного значення a знайдемо відповідне значення b, використовуючи вираз b = (9√3) / a:

Якщо a₁ = 3√3, то b₁ = (9√3) / (3√3) = 3

Якщо a₂ = 3, то b₂ = (9√3) / 3 = 3√3

Крок 9: Записуємо відповідь

Отже, ми знайшли дві пари значень для сторін прямокутника: (3√3 см, 3 см) та (3 см, 3√3 см). Оскільки порядок сторін не має значення, ми можемо сказати, що сторони прямокутника дорівнюють 3 см та 3√3 см.

Відповідь

Сторони прямокутника дорівнюють 3 см та 3√3 см.

Підсумок

Ось і все! Ми успішно розв'язали задачу, знайшовши сторони прямокутника, знаючи його діагональ і площу. Цей приклад показує, як важливо знати основні формули та вміти їх застосовувати. Не бійтеся складних задач, розбивайте їх на маленькі кроки, і все вийде!

Практичні поради для розв'язання геометричних задач

Геометрія може здаватися складною, але з правильним підходом і практикою, ви зможете легко розв'язувати найскладніші задачі. Ось кілька порад, які допоможуть вам у цьому:

1. Завжди робіть малюнок. Візуалізація задачі – це перший і найважливіший крок. Малюнок допоможе вам зрозуміти, що дано і що потрібно знайти. На малюнку позначайте всі відомі величини, кути, сторони тощо.
2. Згадайте основні формули та теореми. Геометрія базується на певних правилах і формулах. Переконайтеся, що ви добре знаєте формули площі, периметра, об'єму, теорему Піфагора, властивості кутів і сторін різних фігур. Створіть собі шпаргалку з основними формулами і використовуйте її, коли розв'язуєте задачі.
3. Розбивайте задачу на частини. Якщо задача здається складною, спробуйте розбити її на кілька менших, більш простих задач. Наприклад, якщо вам потрібно знайти площу складної фігури, поділіть її на простіші фігури, площі яких ви можете обчислити (трикутники, прямокутники, кола тощо).
4. Використовуйте алгебру. Багато геометричних задач можна розв'язати за допомогою алгебраїчних рівнянь. Вводьте змінні для невідомих величин і складайте рівняння на основі відомих формул і теорем. Розв'язуйте ці рівняння, щоб знайти невідомі.
5. Перевіряйте свою відповідь. Після того, як ви отримали відповідь, переконайтеся, що вона має сенс. Наприклад, якщо ви обчислюєте довжину сторони, вона не може бути від'ємною. Перевірте, чи відповідає ваша відповідь умовам задачі.
6. Практикуйтеся. Найкращий спосіб навчитися розв'язувати геометричні задачі – це практика. Розв'язуйте якомога більше різних задач. Почніть з простих задач і поступово переходьте до складніших. Якщо у вас щось не виходить, не здавайтеся. Зверніться за допомогою до вчителя, однокласників або подивіться розв'язання в інтернеті.
7. Використовуйте онлайн-ресурси. В інтернеті є багато корисних ресурсів для вивчення геометрії, таких як інтерактивні уроки, відео, калькулятори і розв'язники задач. Використовуйте їх, щоб поглибити свої знання і отримати допомогу у розв'язанні задач.

Важливість геометрії в реальному житті

Геометрія – це не просто абстрактний предмет, який вивчають у школі. Вона відіграє важливу роль у нашому повсякденному житті. Ось кілька прикладів, де геометрія є необхідною:

1. Архітектура та будівництво. Геометрія є основою архітектури та будівництва. Архітектори використовують геометричні принципи для проектування будівель, мостів, доріг та інших споруд. Будівельники використовують геометрію для вимірювання, розмітки та будівництва.
2. Дизайн та мистецтво. Геометрія використовується в дизайні інтер'єрів, графічному дизайні, моді та мистецтві. Геометричні фігури та пропорції можуть бути використані для створення естетично приємних і гармонійних композицій.
3. Інженерія. Інженери використовують геометрію для проектування машин, механізмів, електронних пристроїв та інших технічних об'єктів.
4. Картографія та навігація. Геометрія використовується для створення карт, визначення координат і напрямків, а також для навігації в просторі.
5. Комп'ютерна графіка та анімація. Геометрія є основою комп'ютерної графіки та анімації. Вона використовується для створення тривимірних моделей, об'єктів і сцен.
6. Медицина. Геометрія використовується в медичній візуалізації, наприклад, в комп'ютерній томографії (КТ) та магнітно-резонансній томографії (МРТ), для створення зображень внутрішніх органів і тканин.
7. Астрономія. Геометрія використовується в астрономії для вивчення форми та розмірів небесних тіл, а також для визначення їхнього положення в просторі.

Розуміння геометричних принципів допомагає нам краще розуміти світ навколо нас і розв'язувати практичні задачі. Тому важливо вивчати геометрію і застосовувати її в різних сферах життя.

Додаткові задачі для самостійного розв'язання

Щоб закріпити свої знання, спробуйте розв'язати ці додаткові задачі:

1. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 10 см, а площа – 24 см².
2. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а його діагональ – 10 см. Знайдіть сторони прямокутника.
3. Сторони прямокутника відносяться як 3:4, а його площа дорівнює 48 см². Знайдіть сторони прямокутника.

Висновок

Сподіваюся, ця стаття допомогла вам краще зрозуміти, як розв'язувати геометричні задачі, пов'язані з прямокутниками. Геометрія – це захоплива наука, яка відкриває багато цікавих можливостей. Не зупиняйтеся на досягнутому, продовжуйте вчитися та розв'язувати нові задачі! Удачі вам у навчанні та в житті! Пам'ятайте, що практика робить майстра, тож чим більше ви практикуєтесь, тим краще у вас виходитиме. До нових зустрічей, друзі! 😉